tan, 全称是 tangent. 这个单词的词根 -tang- 就是“接触”的意思。圆的切线就是和圆只有一点接触的直线。和圆没有接触或者有两点接触的直线都不是圆的切线。所以，“圆心” 和“切线与圆的接触点”之间的连线，必然是和该切线互相垂直的。
直角三角形的切线和圆的切线有类似的地方。直角三角形的切线和它的一条直角边重合，和另外一条直角边垂直。因为直角三角形的一个直角边不是圆弧，所以它的切线和它不是只有一点接触，而是完全重合。
所以直角三角形的正切英文就叫做 tagent A, 记做 tan A，其值等于∠A对边的长度比∠A邻边的长度。
sin， 全称是 sine, 源自拉丁语 sinus, 它的涵义是“胸部、海湾”， sinus 是对阿拉伯语 jaib 的翻译。 jaib 的涵义就是“胸部”。jaib 实际上是 jb，
初一数学教材上说：“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。教材上是通过归纳法得到这个结论的。众所周知，归纳法在逻辑上并不严密。那么我们如何严密证明给学生看“除以一个数等于乘以这个数的倒数”呢？
假设有一个有理数 a/b. 我们构造一个运算式：
d ➗ a/b
上面这个计算式的本质是在问：d 是 a/b 的多少倍？
我们假设 d 是 a/b 的 m 倍，那么有以下等量关系：
d = a/b x m
我们知道倒数的定义是：如果两个有理数的乘积是 1 ，那么这两个有理数互为倒数(reciprocal), 所以 a/b 的倒数是 b/a.
那么我们把 d = a/b x m 变形一下：
d x b/a = a/b x b/a x m
以上等式的右边变成了 m
所以我们得到 m = d x b/a
而 m = d ➗ a/b
所以，d ➗ a/b = d x b/a
从上面的推理过程，我们可以确证 “除以一个数等于乘以这个数的倒数”
有一些学生很难理解为什么一个负数乘以一个负数，结果会是一个正数。
我们不妨让学生想象下面的情境：
假如有个盒子，是用来装饭菜的。假如它的温度是 30°C。假如放一个小冰袋可以使得盒子降低5°C，记为 -5°C， 那么放入6个冰袋就能降低 30°C，记为 （-5°C）x 6 = -30°C, 那么现在盒子的温度是 0°C.
现在我们来撤走冰袋，假如撤走两个冰袋，记为 -2, 那么盒子温度变化将是
(-5°C) x (-2). 实际上盒子的温度撤走两个冰袋后将升温 10°C，也就是说：
(-5°C) x (-2) = 10°C
如果我们撤走 6 个冰袋，那么温度变化应该是：
(-5°C) x (-6)
显然撤走 6 个冰袋，温度将升高 30°C，也就是说：
(-5°C) x (-6) = 30°C
从上面的分析可以看出负数乘以负数等于正数。
我们知道， 20 - (-10) = 20 + 10， 也就是说，减一个负数，等于加上这个负数的相反数，也就是等于加上一个正数。
怎样给低年级的学生解释才能让学生直观的理解这一点呢？
我们可以让学生想象在夏天用一个小盒子装饭菜，假如盒子原来的问题是30 oc， 为了防止饭菜变质，我们可以放冰袋到盒子里。假如放一个冰袋能让整个盒子降温 10 oc, 记为 -10 oc. 那么现在盒子的温度将变成 30 oc + （- 10 oc）= 20 oc.
那么，如果我们把这个冰袋撤出来，盒子的温度将发生什么样的变化呢？显然，列式应该是 20 oc -（-10 oc）。冰袋撤出了，盒子温度要升高到原来的温度，也就是 30 oc， 也就是说 20 oc -（-10 oc）= 30 oc = 20 oc + 10 oc
这一点是非常重要的。不少学生，成绩差的原因，不是智商不够，而是学习方法不好。