教学经验

怎样给学生讲清楚直角三角形的tan, sin, cos的涵义

周志高 提交于 周一, 05/31/2021 - 11:32

tan, 全称是 tangent. 这个单词的词根 -tang- 就是“接触”的意思。圆的切线就是和圆只有一点接触的直线。和圆没有接触或者有两点接触的直线都不是圆的切线。所以,“圆心” 和“切线与圆的接触点”之间的连线,必然是和该切线互相垂直的。

直角三角形的切线和圆的切线有类似的地方。直角三角形的切线和它的一条直角边重合,和另外一条直角边垂直。因为直角三角形的一个直角边不是圆弧,所以它的切线和它不是只有一点接触,而是完全重合。

所以直角三角形的正切英文就叫做 tagent A, 记做 tan A,其值等于∠A对边的长度比∠A邻边的长度。

sin, 全称是 sine, 源自拉丁语 sinus, 它的涵义是“胸部、海湾”, sinus 是对阿拉伯语 jaib 的翻译。 jaib 的涵义就是“胸部”。jaib 实际上是 jb,

怎样让学生理解“除以一个数等于乘以这个数的倒数”

周志高 提交于 周一, 05/17/2021 - 16:21

初一数学教材上说:“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。教材上是通过归纳法得到这个结论的。众所周知,归纳法在逻辑上并不严密。那么我们如何严密证明给学生看“除以一个数等于乘以这个数的倒数”呢?

假设有一个有理数 a/b. 我们构造一个运算式:

d ➗ a/b

上面这个计算式的本质是在问:d 是 a/b 的多少倍?

我们假设 d 是 a/b 的 m 倍,那么有以下等量关系:

d = a/b x m

我们知道倒数的定义是:如果两个有理数的乘积是 1 ,那么这两个有理数互为倒数(reciprocal), 所以 a/b 的倒数是 b/a.

那么我们把 d = a/b x m 变形一下:

d x b/a = a/b x b/a x m

以上等式的右边变成了 m

所以我们得到 m = d x b/a

而 m = d ➗ a/b

所以,d ➗ a/b = d x b/a

从上面的推理过程,我们可以确证 “除以一个数等于乘以这个数的倒数”

怎样让学生直观理解一个负数乘以一个负数结果是一个正数?

周志高 提交于 周一, 05/17/2021 - 15:58

有一些学生很难理解为什么一个负数乘以一个负数,结果会是一个正数。

我们不妨让学生想象下面的情境:

假如有个盒子,是用来装饭菜的。假如它的温度是 30°C。假如放一个小冰袋可以使得盒子降低5°C,记为 -5°C, 那么放入6个冰袋就能降低 30°C,记为 (-5°C)x 6 = -30°C, 那么现在盒子的温度是 0°C.

现在我们来撤走冰袋,假如撤走两个冰袋,记为 -2, 那么盒子温度变化将是

(-5°C) x (-2). 实际上盒子的温度撤走两个冰袋后将升温 10°C,也就是说:

(-5°C) x (-2) = 10°C

如果我们撤走 6 个冰袋,那么温度变化应该是:

(-5°C) x (-6)

显然撤走 6 个冰袋,温度将升高 30°C,也就是说:

(-5°C) x (-6) = 30°C

从上面的分析可以看出负数乘以负数等于正数。

 

怎样让学生直观理解减一个负数等于加一个正数

周志高 提交于 周一, 05/17/2021 - 12:28

我们知道, 20 - (-10) = 20 + 10, 也就是说,减一个负数,等于加上这个负数的相反数,也就是等于加上一个正数。

怎样给低年级的学生解释才能让学生直观的理解这一点呢?

我们可以让学生想象在夏天用一个小盒子装饭菜,假如盒子原来的问题是30 oc, 为了防止饭菜变质,我们可以放冰袋到盒子里。假如放一个冰袋能让整个盒子降温 10 oc, 记为 -10 oc. 那么现在盒子的温度将变成 30 oc + (- 10 oc)= 20 oc.

那么,如果我们把这个冰袋撤出来,盒子的温度将发生什么样的变化呢?显然,列式应该是 20 oc -(-10 oc)。冰袋撤出了,盒子温度要升高到原来的温度,也就是 30 oc, 也就是说  20 oc -(-10 oc)= 30 oc = 20 oc + 10 oc