初一数学教材上说：“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。教材上是通过归纳法得到这个结论的。众所周知，归纳法在逻辑上并不严密。那么我们如何严密证明给学生看“除以一个数等于乘以这个数的倒数”呢？
假设有一个有理数 a/b. 我们构造一个运算式：
d ➗ a/b
上面这个计算式的本质是在问：d 是 a/b 的多少倍？
我们假设 d 是 a/b 的 m 倍，那么有以下等量关系：
d = a/b x m
我们知道倒数的定义是：如果两个有理数的乘积是 1 ，那么这两个有理数互为倒数(reciprocal), 所以 a/b 的倒数是 b/a.
那么我们把 d = a/b x m 变形一下：
d x b/a = a/b x b/a x m
以上等式的右边变成了 m
所以我们得到 m = d x b/a
而 m = d ➗ a/b
所以，d ➗ a/b = d x b/a
从上面的推理过程，我们可以确证 “除以一个数等于乘以这个数的倒数”