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- 三角函数(trigonometric function):
- tanA = ∠A的对边比∠A的邻边
- sinA = ∠A的对边比∠A的斜边
- cosA = ∠A的邻边比∠A的斜边
- 特殊角的三角函数值
|
sinA |
cosA |
tanA |
30o |
1/2 |
v3/2 |
v3/3 |
45o |
v2/2 |
v2/2 |
1 |
60o |
v3/2 |
1/2 |
v3 |
- 投影:物体在光线的照射下,会在地面或其它平面上留下它的影子,这就是投影(projection)现象。影子所在的平面成为投影面。
- 中心投影:手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的,这样的光线所形成的投影称为中心投影(central projection).
- 平行投影:太阳光线可以看成是平行光线,平行光线所形成的投影称为平行投影(parallel projection).
- 正投影:平行光线与投影面垂直的投影称为正投影(orthographic projection).
- 如果采用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别为 m, n, 那么这两条线段的比(ratio)就是它们长度的比,即 AB:CD = m:n, 或者写成AB/CD = m/n, 其中线段AB, CD分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把 m/n表示成比值k, 那么AB/CD = k, 或者 AB = k*CD. 两条线段的比实际上就是两个数的比。
- 四条线段 a, b, c, d 中, 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即 a:b = c:d, 那么这四条线段 a, b, c, d 叫做成比例线段,简称比例线段(proportional segments)。
- 如果 a/b = c/d = ...... = m/n (b + c + ... + n ≠ 0), 那么(a+c+...+m)/(b+d+ ... + n) = a/b
- 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
- 平行于三角形一条边的直线与其它两条边相交,截得的对应线段成比例。
- 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形(similar polygons)。
- 相似多边形对应边的比叫做相似比(similarity ratio)。
- 菱形
- 定义:有一组邻边相等的四边形叫做菱形(rhombus)
- 性质:
- 具有平行四边形的所有性质
- 轴对称
- 菱形的四条边相等
- 菱形的对角线互相垂直
- 判定
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
- 四边相等的四边形是菱形
- 矩形
- 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle)
- 性质:
- 具有平行四边形的所有性质
- 矩形的四个角都是直角
- 矩形的对角线相等
- 判定
- 对角线相等的平行四边形是矩形
- 有三个角是直角的平行四边形是矩形
- 正方形
- 定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(square)
- 性质:
- n 边形的内角和等于 (n-2)*180o
- 多边形的外角和都等于 360o
- 定义
- 性质
- 平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心。
- 平行四边形的对边相等,对角相等。
- 平行四边形的对角线互相平分。
- 判定
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形
- 如果两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等,这个距离称为平行线之间的距离。
- 在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移(translation)。平移不改变图形的形状和大小。
- 一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等。
- 一个图形依次沿着 x 轴方向、y轴方向平移后得到的图形,可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的。
- 在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转(rotation),这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。
- 一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所组成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等。
- 如果把某个图形绕着某一点旋转180o,它能够与另一个图形重合,那么就说这个两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry),这个点叫做它们的对称中心(centre of symmetry)。
- 把一个图形绕某个点旋转180o,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。
- 等边对等角
- 等角对等边
- 等于三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合
- 反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法成为反证法(reduction to absurdity)。
- 三个角都相等的三角形是等边三角形
- 有一个角等于60o的三角形是等边三角形
- 在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半
- 定义(definition): 对名称和术语的涵义加以描述,做出明确的规定。
- 命题(statement):判断一件事情的句子,叫做命题。
- 一般地,每个命题都是由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。
- 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的命题称为假命题(false statement)。
- 要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例(counter example)。
- 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
- 一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。
- 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
- 在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。
- 在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系(rectangular coordinates system)。通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向,水平的数轴叫做 x 轴或横轴,铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,x 轴和 y 轴统称坐标轴,它们的公共原点 O 成为直角坐标系的原点。
- 在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分。右上方的部分叫做第一象限,其它三部分按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
- 在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应。
- 关于 x 轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。
- 关于 y 轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。