香港HKDSE数学辅导

解几何题，不管是计算边长还是角度，或者还是证明一个结论，都是一个推理的过程。推理往往不是一步到位的，必须严格地遵循推理规则，每一步都要让自己、让别人信服。所以推理通常是一个比较长的因果链条。

比较复杂的几何题，不容易从题目的已知条件直接看出完整的因果链，这时我们往往需要添加辅助线，把缺失的因果链补起来。所以辅助线一定是起着链接前后的作用，也就是说，辅助线，不管是一条还是几条，一定是链接已知条件和要推理得出的结论。有了辅助线，我们就比较容易看清楚从题目给出的已知条件到题目要求解的问题之间的推理链。

根据这个原理，作辅助线的思路有两个源头：

1. 题目给出的已知条件。 已知条件决定了我们可以作出哪些辅助线。辅助线不是天马行空地随便乱作的。
2. 所要解决的问题。这决定了哪些辅助线可能对我们这道题目有用。

从以上两个源头出发，也就是顺推(deductive reasoning)和倒退(abductive reasoning)，我们可以把辅助线给找出来。有时顺推，可以发现有不少添加辅助线的可能，结合倒退，经过尝试，发现只有少数甚至只有一种辅助线能够使得我们推理链完整，所以作辅助线也可能有一个试错的过程。

首先读题后，根据题目中给出的信息，如果没有图，就画出图，如果有图，就直接看图，看看能推理出什么结论。例如计算出一些边的长度，角的度数，等等，可以把这些标在图上。在推理的时候要注意，遵循充分条件原理，只有条件充分，才能退出一些合理的结论。这些推理出来的合理的结论，都是我们进一步推理的根据。这是从已知条件出发来推理。这个过程很像是刑警根据案发现场的证据来推理出一些结论。

我们还经常根据要证明的结论或者要解决的问题进行溯因推理（abduction）.就是说要推出此结论，那么可以有哪些充分条件？或者如果此结论成立，那么有哪些必要条件？这个过程很像医生根据病人的症状和体检结果来倒推可能的病因。溯因推理的特点是有猜测的成分。医生会根据自己的知识和经验来判断可能的病因中哪种可能性最大。医生可能会判断错误，所以需要纠错。我们在做几何题目进行溯因推理时，也是要根据题目需要证明的结论和已知条件来倒推可能什么充分条件最合适，因为充分条件往往有多个或多组，所以一条路不通，就要更换另外一条路试试。

演绎推理(deductive reasoning) 是从一般推到个别。例如：平行四边形的两组对边相等。ABCD 是平行四边形，所以 AB=CD. 这就是演绎推理。数学这门学科特别重视演绎推理。

归纳推理（inductive reasoning）是从个别推到一般。就是从一大堆现象中归纳猜想一般规律。归纳推理在物理化学生物等学科中被非常频繁的使用。科学家们做大量的实验，根据实验得到的数据，归纳猜测出某种理论。这种推理就是归纳推理。归纳推理的特点是它得到的结论未必正确，可能会被推翻。但是它非常有用。如果不是人类能够进行归纳推理，科学就不会得到发展。

归纳推理在数学中的应用，相对于它在物理化学生物学等学科中的应用，要少得多。但是归纳推理在数学里也非常有用。归纳推理得到的结论，也就是猜想 (conjecture), 在数学里还必须要通过演绎推理来说明归纳推理得到的猜想是对还是错。未经演绎推理验证的结论，始终只是猜想。数学史上有不少猜想得到了证明或证否，还有一些猜想还有待证明或证否。

1. 定义 (definition)： 就是对术语所指的范围进行限定，明确所指。有的术语，不同人的理解不一样。例如 Chinese，究竟是指“华裔”？ 还是指“中国人”？在讨论中这个得明确，不然鸡同鸭讲，扯不清楚。
2. 事实 (fact)。例如题目中给出的 线段 AB = 6cm; 或者∠ABC = 30°；或者 AB//CD, 这些都是已知的事实
3. 公理 (postulate), 是不证自明的判断，实际上也没法证明。例如：
   1. 经过两点，有且只有一条直线。
   2. 两点之间，直线段最短。
   3. 经过直线外一点，只有一条直线与该直线平行。
4. 定理（theorem）：是根据定义、事实、公理推理出来的正确的判断。

在推理时，定义、事实、公理和定理是我们的依据。不然很可能推理的形式正确，但是却推出了错误的结论。

例如下面的推理：

人是不死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是不死的。

这个推理，从形式上说，是没有错的。但是它的依据之一“人是不死的”，既不是事实，也不是公理，也不是定理，而是一个错误的判断。所以推理出来的结论“苏格拉底是不死的”也就是错误的。

1. 充分条件（sufficient condition）
2. 联合充分条件 (jointly sufficient conditions)
3. 必要条件（necessary condition）
4. 充分但不必要条件 （sufficient-but-not-necessary condition）
5. 必要但不充分条件（necessary-but-not-sufficient condition）
6. 必要且充分条件 （sufficient-and-necessary condition）
7. 不必要且不充分条件 （neither-sufficient-nor-necessary condition）

以上术语中的“条件(condition)”，指的是有可能发生也可能不发生的事件或者可能为真也可能为假的状态。所以我们可以判断它是真还是假。如果是真，那就是条件满足了；如果是假，那就是条件没满足。

1. 充分条件(sufficient condition)：如果条件 p 满足了，那么必然可以推出结论 q；则称条件 p 为结论 q 的充分条件。（只要 p 真，就一定会有 q 真）