第四章 图形的相似

  1. 成比例线段
    • 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别为 m, n, 那么这两条线段的比（ratio）就是它们长度的比，即 AB:CD = m:n, 或写成 AB/CD = m/n, 其中线段 AB, CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把 m/n 表示成比值 k, 那么 AB/CD = k, 或者 AB = k*CD. 两条线段的比实际上就是两个数的比。
    • 四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 a/b = c/d, 那么这四条线段 a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）. 
    • 如果 a/b = c/d , 那么 ad = bc
    • 如果 ad = bc (a, b, c, d都不等于0)，那么 a/b = c/d
    • 如果 a/b = c/d = ... = m/n (b+d+...+n≠0)， 那么(a+c+...+m)/(b+d+...+n) = a/b.
  2. 成比例线段
    • 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
    • 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例
  3. 相似多边形
    • 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。相似符号 “∽” 读作相似于。例如 △ABC ∽ △ EFG
    • 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
    • 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）
  4. 探索相似三角形相似的条件
    • 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triagles）.
    • 定理：两角分别相等的两个三角形相似
    • 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
    • 定理：三边成比例的两个三角形相似
    • 黄金分割比：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 AC/BC = BC/AC，那成线段AB被点C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
  5. 相似三角形判定定理的证明
  6. 利用相似三角形测高
  7. 相似三角形的性质
    • 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
    • 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
  8. 图形的位似
    • 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P， P' 所在的直线都经过同一点 O, 且有 OP' = k · OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形（homothetic polygons）点 O叫做位似中心（homothetic center）. 实际上 k 就是这两个相似多边形的相似比。
    • 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以同一个数 k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是 |k|.