第二章 实数

  1. 认识无理数
    • 无理数（irrational number）是不能用整数或整数的比来表示的数，换句话说，无理数不能化为分数。
    • 无理数是无限不循环小数。
    • 无理数和有理数一样，是现实世界中客观存在的量的反映。
    • 无理数的证明：计算边长为 1 的正方形的对角线，可以发现有的数确实没法用整数或整数的比来表示。
  2. 平方根
    • 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, 即 x2 = a, 那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记做√a ，读作“根号a”.
    • 特别地，我们规定： 0 的算术平方根是 0， 即 √0 = 0.
    • 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a, 即 x2 = a, 那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（square root,也叫二次方根）。
    • 一个正数有两个平方根（±√a），0的平方根是0；复数没有平方根。
    • 求一个数 a 的平方根的运算，叫做 开平方（extraction of square root）, a 叫做被开方数。
  3. 立方根
    • 一般的，如果一个数 x 的立方等于 a, 即 x3 = a, 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（cube root），也叫三次方根。
    • 每个数 a 都有一个立方根，记做 3√a, 多做“三次根号a”.
    • 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
    • 求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方（extraction of cubic root）, a 叫做被开方数。
  4. 估算
  5. 用计算器开方
  6. 实数
    • 有理数（rational number）和无理数（irrational number）统称为实数(real number).
    • 实数也分正实数、0、负实数。
    • 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
    • 实数和有理数一样，可以进行加减乘除乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然有用。
    • 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
    • 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
  7. 二次根式
    • 一般地，形如√a（a ≥ 0）的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数。
    • 二次根式的性质：
      • √ab = √a*√b(a ≥ 0，b ≥ 0 ), √a/b = √a/√b（a ≥ 0，b ＞ 0），即积的算术平方根等于算术平方根的积；商的算术平方根等于算术平方根的商。
    • 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
    • 分别把这两个式子：√ab = √a*√b(a ≥ 0，b ≥ 0 ), √a/b = √a/√b（a ≥ 0，b ＞ 0）等号的左边和右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：
      • √a*√b = √ab (a ≥ 0，b ≥ 0 ),  √a/√b = √a/b（a ≥ 0，b ＞ 0）
    • 同样，二次根式也可以进行加减运算。这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果这些运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。